大气科学，无论是理论研究还是实际业务的逐步发展，对数学理论和数学方法的学习都提出了更紧迫的要求。

  本书是在南京信息工程大学“大气科学中的数学方法”课程讲义的基础上编写修订而成。和第一版相比，编写内容不仅得到充实，而且范围上也有进一步的扩展，补充了有关卡尔曼滤波资料同化方法的介绍，并将其单列为第7章。

  全书每章以“数学方法理论阐述—详细过程推导—精细数值计算”为主线，辅之应用背景介绍以加深对数学方法的理解。本书强调以微分动力系统、摄动方法、小波分析、偏微分方程数值求解、变分与有限元方法内容学习为基础，突出以变分伴随方法、卡尔曼滤波方法为代表的典型资料同化技巧理解和掌握，并吸收近年来资料同化领域发展的最新研究成果，相关联的内容现已深入到近代数学以及应用工程领域的众多方面。

  自20世纪80年代初卡尔曼滤波理论的序列统计估计在气象学上的应用开始，其已在气象学、海洋学、水文学以及大气化学等众多领域得到深入的理论研究和大量实际推广。在此过程中，滤波类方法也由最初的经典卡尔曼滤波发展出包括集合卡尔曼滤波 (EnKF) 在内的不一样的种类，在理论上消除或克服了一些限制条件，适合使用的范围更加广泛。

  集合卡尔曼滤波可用于非线性系统的数据同化，在对变量做多元化的分析和预报的同时还能对误差做多元化的分析和预报，这是变分方法所不具备的。 因此，集合卡尔曼滤波慢慢的变成为当前最流行的数据同化算法之一。 尽管国际上许多气象部门实现了三维变分 (3D-Var) 或四维变分 (4D-Var) 资料同化的业务化，但是集合卡尔曼滤波同化方法也以其固有的优点吸引着慢慢的变多的气象学家和海洋学家，如加拿大环境部目前已将集合卡尔曼滤波加入到业务系统中。然而对于集合卡尔曼滤波，因为其缓慢的收敛性，需要更大集合的样本以保证收敛的精度。但这反过来会影响计算速度，增加计算成本。为了更好的提高计算效率，在不特别影响求解精度的情况下，一个小样本集合被人们所期待。然而，当样本数远小于系统自由度时，由样本估计的方差会逐渐被低估。针对不同的研究对象和应用个例引进协方差局地化(covariance localization) 或一些如乘性或加性膨胀因子等调控方法的使用，可在某些特定的程度上有效缓解或克服这种局面。为发展和完善集合卡尔曼资料同化理论和方法，应对未来数值天气预报系统更高预报精度的要求，减少样本成员的数量以及降低高精度预报的计算成本仍然是亟须关注的主体问题。这也激发了人们对卡尔曼滤波的学习兴趣和积极探索。

  第1章介绍动力系统定性理论和相平面分析中的奇点附近相轨线分布、极限环的产生以及非线性系统研究中的线性化近似问题等，并在具有典型应用背景的动力学框架内(如厄尔尼诺-南方涛动，ENSO)阐述了相关概念的应用。

  第2章主要介绍摄动方法的分类和相关基本概念，以埃克曼(Ekman)边界层旋转流体运动为例，较为详细地描述了匹配渐近展开法的基本思想和计算过程。

  第3章包括连续小波变换、离散小波变换、经典的Mallat分解和重构算法等内容，在此基础上结合神经网络介绍了小波在时间序列预测中的应用。

  第4章从简单模型出发，导入有限差分法的基本概念、相应的差分格式构造，分析典型有限差分格式应用及其特征性质，分别以二维正压涡度方程和浅水方程为例,介绍了具体的数值格式及其数值实现。

  第5章先简要介绍变分方法的相关概念，在此基础上讨论椭圆型偏微分方程边值问题及其变分问题，然后分别介绍Ritz-Galerkin方法及有限元方法。

  第6章处理变分伴随问题所依赖的重要数学知识，涉及“对偶与伴随”的重要思想和相关联的内容．首先介绍最优控制理论的相关联的内容，然后回顾线性空间和线性泛函的一些必要知识，引出算子伴随、方程伴随的介绍，给出伴随方法的基础原理，在此基础上，转向变分伴随方法在敏感性分析、参数反演与动力初始化以及稳定性分析方面的应用介绍。

  第7章介绍卡尔曼滤波资料同化方法，该方法是资料同化继优化控制角度阐述变分资料同化方法之后涉及的又一重要方法，即序列同化方法．这部分分别从加权最小二乘的最佳线性无偏估计、贝叶斯条件概率递推估计两个方面转向卡尔曼滤波的介绍，主要涉及经典卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波以及集合卡尔曼滤波的基本思想和原理、数学形成以及具体实施，阐述了集合卡尔曼滤波算法基于样本空间的降阶优势，在此基础上，矩阵平方根分解的使用可逐步降低对计算机存储的需求。

  本书从基本概念出发,既突出数学方法建立的过程,又注意到学科交叉，举例安排力求体现气象特色，以达到对相关知识和内容快速理解、掌握和融会贯通的目的。整本书涉及理论并不多,数学处理上浅显易懂,读者只要具有一般高等数学、线性代数、数理方程知识就能学习全书。

  本书借鉴海外优秀教材的编写模式，每章习题材料采取使用进阶式安排，不仅有解答题，还考虑了上机实习题。全书对关键知识点的解释不仅增强了学科内容的理解,还从课程思政角度突出了知识的内化吸收。对典型例题和算法的讲解辅之以MATLAB程序代码,既便于课堂讲授时的得心应手,又使课后问题解答结果的实现生动有趣。另外，为了方便读者有选择性地学习,在知识前后衔接的基础上，本书的编写尽量做到各章自成体系，具有一定的独立性。本书的 MATLAB程序代码可通过访问科学出版社网上书店，检索本书名称，在图书详情页“资源下载”栏目中获取。

  本文摘编自《大气科学中的数学方法（第二版）》一书，有删减，图片来源于该书，标题为编辑所加。本书是“十三五”江苏省高等学校重点教材，科学出版社“十三五”普通高等教育本科规划教材。

  本书是在《大气科学中的数学方法》第一版基础上修订而成，较为系统地介绍了微分动力系统、摄动方法、小波分析、偏微分方程数值求解、变分与有限元方法、变分伴随方法、卡尔曼滤波资料同化方法等内容。编写过程中注意到了学科交叉，力求做到数学知识处理上浅显易懂，同时也考虑到了对相关气象内容的吸收，充足表现本书的气象特色。为方便读者参阅和自学，对典型例题和算法的讲解补充了必要的MATLAB程序代码，各章内容也配备了适量习题。

  本书可作为数学、气象、海洋等专业的本科生、研究生和教师的参考书，还可供工科研究生作为数学物理类教材的拓展内容来学习使用。

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